引子：三阶幻方是小学三、四年级奥数中重要的知识点和基础题型。本文讨论如何利用其性质巧解和速解。
概念：所谓三阶幻方，是指排成三行和三列的9个数字，每行、每列和每条对角线上的数字和都相等。
图1
其中最简单的三阶幻方是使用数字1-9，排成的图形被称为九宫格，如图1所示。我国古代对此就有研究，并总结有口诀为：“二四为肩、六八为足，左七又三，戴九履一，五居中央”。
通常把幻方每条线（横、直、斜）的数字和称为幻和。九宫格的幻和和为15。奥数题目中的幻和通常不是15，而且不知道是多少。
性质：设幻和为S，三阶幻方有下列一些性质。
图2-1 三阶幻方性质1
性质1：中心数的3倍等于幻和。
证明：通过中心数有四条线，四条线的和为4倍幻和。而四条线恰好等于全部的数，加上3倍的中心数。即有
全部数相加等于3倍幻和（或者三条横线，或者三条竖线）。因此有，
性质2：过中心数的三个数，成等差关系。
证明：不失一般性，以g、e和c为例。由于它们在一条线上，所以
由性质1可知，e为3倍幻和。于是有，
这表明e是g、c的等差中项，它们三个构成等差数列。
图2-2 三阶幻方性质3
性质3：边角关系：2倍角格数等于不相邻两个边格数之和。
证明：过角格数a的三条线，等于三倍幻和。它等于全体数字和，加上2倍的a，并去掉f和h。如图2-3所示：
图2-3 三阶幻方性质3
即有
全体数字和等于幻和的3倍，于是，
应用：下面利用上述性质进行解题。
例子1，已知三阶幻方中给出了如图3-1所示的三个数，求其他数。
图3-1 例1题图
解：由性质3边角关系可知，右上角的数为：(7+15)÷2=11。
再由性质2可知，11与21构成等差数列，于是中心数为：(11+21)÷2=16。
图3-2 例1图解
由性质1可知，幻和为中心数16的3倍，即48。于是依次填出其他的数，如图所示。
图3-3 例1答案
例2、已知三阶幻方中给出了如图4-1所示的三个数，求其他数。
图4-1 例2题图
解：如图4-2所示，根据主对角线和第一列的竖线，有
图4-2 例2图解1
等式两边消去i，解得e=5+15-9=11。
由于e是中心数，因此幻和为33。则i=33-5-15=13。
图4-3 例2图解2
然后依次填出其他数，如图4-4所示。
图4-4 例2答案
例3、已知三阶幻方中给出了如图5-1所示的三个数，求？处的数。
图5-1 例3题图
解：如图5-2所示，根据第一列的竖线和第三行的横线可知
图5-2 例3图解
即有，h=8+11-12=7。
根据边角关系，有？=(11+7)÷2=9。
图5-3 例3答案
例4、已知三阶幻方中给出了如图6-1所示的三个数，求？处的数。
图6-1 例4题图
解：根据边角关系，可知右上角的数为：(16+4)÷2=10。
图6-2 例4图解1
再根据第一列的竖线和副对角线可知，中心数为：20+16-10=26。
图6-3 例4图解2
？与26和10构成等差数列，因此？=2×26-10=42。如图6-4所示。
图6-4 例4答案
例5、将9个不同的自然数填入下图的9个空格内，使每行、每列、每对角线上3个数的和都相等。已知A和B的差为14，B和C的差也为14，那么D和E的差是多少？
图7-1 例5题图
解：不失一般性，设A>B，则A=B+14。如果B<C，则C=B+14。这样会得出A=B，与9个不同的数矛盾。因此必有B>C，即A>B>C。
于是，B=C+14，A=B+14=C+28。将它们带入图中，则有，
图7-2 例5图解1
根据边角关系，有
由①式得
由②式得
③式-④式，有
即D和E之间差49。
别解：还是根据图7-2，由于B(C+14)与C的和等于2倍D，所以B、D、C构成等差数列，D是等差中项，公差是7；A(C+28)、B(C+14)和C，显然A、B、C也构成等差数列，等差中项是B，公差是14；C和E的和等于A(C+28)的2倍，所以E、A、C构成等差数列，等差中项是A，公差是28。
将它们排成一列，如图7-3所示：
图7-3 例5图解2
因此D和E之间相差：28+14+7=49，或者2×28-7=56-7=49。
讨论：三阶幻方给出3个数，求其他数，可以用方程解的理论来解释。
图8-1 三阶幻方的方程理论解释
根据每行、每列、每对角线都相等，可以列出8个方程：
可以证明，这8个方程中只有3个是独立的。只要给出3个，就可以推导出其他5个。
图8-2 三阶幻方的角格、边格和中心格
9个数，再加上幻和S，一共10个量。根据边角关系，四个角格点可以用边格点表示。根据性质2，四个边格点中，只有2个是独立的。再根据性质1，幻和可以用中心格来表示。因此，10个量里，只有3个是独立的。
根据方程解的理论，只要给定3个数，就可以唯一确定三阶幻方。
进一步讨论：给定的3个数，可以是多种组合。例如角格、边格和中心格各一，或者边格二中心格一等等，详见表一。
换句话说，三阶幻方给定3个数有84种情况。考虑到对称性，只有七大类。
其中给定中心块的情况，对应第一类至第三类，根据性质1，相当于直接告诉了幻和，最为简单。
第四类和第五类，都给出了两个以上的角块，可以根据性质2，利用等差中项直接求出中心块，进而得到幻和，也比较简单。
本文的例1-例4，都是对应第六类，给定1个角块和2个边块的情况。这时就需要利用性质3，进行解题，过程相对复杂。
而第七类，虽然只给出了三个边块，但是必有两个边格在一条直线，从而可以利用性质2推算出中心格，其实并不复杂。假定给出了如图27所示的三个边块B、C、E，根据边角关系，可以确定出A和D。这正是本文例5的形式。
图8-3 三阶幻方的第七类题型
后记：熟练掌握三阶幻方的这三个性质，可以快速的解出整个幻方。其实四阶幻方有更多优异的性质，很多数学家和艺术家都喜欢它，那就是另外一篇文章了。
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