与数论结合的最值问题

题目：七位数8□□□□□□3的各位数字互不相同，且是99的倍数，那么这个七位数最小是多少？

 

分析：最值问题常用的思路是：先“最”再“对”。意思是先找到最值，然后再进行调整，使之符合条件。对于本题而言，各位数字互不相同，而且要最小，显然应该是8012□□3的形式。

 

百位和十位数字应根据是99的倍数这一条件进行选择。99=9×11。所以各位数字之和是9的倍数，而且奇数位数字之和与偶数位数字之和的差是11的倍数。

 

解答：设七位数为8abcde3。

 

若要该七位数最小，则a=0，b=1，c=2。七位数为8012de3。

 

因为它是99的倍数，而99=9×11。因此，有

 

其中m、n为正整数。

 

化简后，为

 

 

对于(1)式的不定方程，让m分别取值1，2，3，……，有

m	9m-14	是否可取
1	-5	×
2	4	×
3	13	√
4	22	×

 

当m=1时，d+e为负值，不可能；当m=2时，d+e为4，而1和3已经用了，所以也不可能；当m取4及以上值时，d+e为22及以上，这也不可能，因为两个一位数相加最大是8+9=17。

 

m只能取3，即d+e=13。从而d、e只能取6、7或7、6。

 

对于(2)式的不定方程，让n分别取值0、1、2、……，有

n	11n-10	是否可取
0	-10	×
1	1	√
2	12	√

 

当n=0时，d-e为-10，不可能；当n取2及以上值时，d-e为12及以上，这也不可能。因为两个一位数相减最大是9-0=9。

 

n只能取1，即d-e=1。从而d=7，e=6。

 

所求的七位数为：8012763。

 

后记：本题是最值问题与数论结合的综合性题目。最值问题要运用“先最再对”的策略，数论部分要熟悉9和11整倍数的特点。题目设计的很巧妙，相当有难度。

 

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全不知老师