信息学奥赛题库- 【18NOIP提高组】赛道修建

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【题目描述】

C 城将要举办一系列的赛车比赛。在比赛前，需要在城内修建 $m$ 条赛道。

C 城一共有$n$ 个路口，这些路口编号为 $1,2, … , n$，有$n − 1$ 条适合于修建赛道的双向通行的道路，每条道路连接着两个路口。其中，第 $i$ 条道路连接的两个路口编号为$a_i$和$b_i$，该道路的长度为$l_i$。借助这 $n − 1$ 条道路，从任何一个路口出发都能到达其他所有的路口。

一条赛道是一组互不相同的道路$e_1, e_2, … , e_k$，满足可以从某个路口出发，依次经过道路$e_1, e_2, … , e_k$（每条道路经过一次，不允许调头）到达另一个路口。一条赛道的长度等于经过的各道路的长度之和。为保证安全，要求每条道路至多被一条赛道经过。

目前赛道修建的方案尚未确定。你的任务是设计一种赛道修建的方案，使得修建的m条赛道中长度最小的赛道长度最大（即m条赛道中最短赛道的长度尽可能大）。

【输入】

输入第一行包含两个由空格分隔的正整数$n, m$，分别表示路口数及需要修建的赛道数。

接下来$n − 1$ 行，第i 行包含三个正整数$a_i, b_i, l_i$，表示第$i$ 条适合于修建赛道的道路连接的两个路口编号及道路长度。保证任意两个路口均可通过这$n − 1$ 条道路相互到达。每行中相邻两数之间均由一个空格分隔。

【输出】

输出共一行，包含一个整数，表示长度最小的赛道长度的最大值。

【输入样例】

7 1
1 2 10
1 3 5
2 4 9
2 5 8
3 6 6
3 7 7

【输出样例】

31

【提示】

【输入输出样例1说明】

所有路口及适合于修建赛道的道路如下图所示：

道路旁括号内的数字表示道路的编号，非括号内的数字表示道路长度。

需要修建 $1$ 条赛道。可以修建经过第 $3,1,2,6$ 条道路的赛道（从路口 $4$ 到路口 $7$），则该赛道的长度为 $9 + 10 + 5 + 7 = 31$，为所有方案中的最大值。

【样例输入2】

9 3
1 2 6
2 3 3
3 4 5
4 5 10
6 2 4
7 2 9
8 4 7
9 4 4

【样例输出2】

15

【输入输出样例2说明】

所有路口及适合于修建赛道的道路如下图所示：

需要修建 $3$ 条赛道。可以修建如下 $3$ 条赛道：

1.经过第 $1,6$ 条道路的赛道（从路口 $1$ 到路口 $7$），长度为 $6 + 9 = 15$；

2.经过第 $5,2,3,8$ 条道路的赛道（从路口 $6$ 到路口 $9$），长度为 $4 + 3 + 5 + 4 = 16$；

3.经过第 $7,4$ 条道路的赛道（从路口 $8$ 到路口 $5$），长度为 $7 + 10 = 17$。长度最小的赛道长度为 $15$，为所有方案中的最大值。

【输入输出样例3】

样例数据3

【数据规模与约定】

所有测试数据的范围和特点如下表所示：

其中，“分支不超过3”的含义为：每个路口至多有$3$条道路与其相连。

对于所有的数据，$2≤n≤50,000,1≤m≤n-1,1≤a_i,b_i≤n,1≤l_i≤10,000$。