信息学奥赛题库- 【19CSPS提高组】划分

C++ 少儿编程 1150浏览 0评论

【题目描述】

2048 年,第三十届 CSP 认证的考场上,作为选手的小明打开了第一题。这个题的样例有 $n$ 组数据,数据从 $1 ∼ n$ 编号,$i$ 号数据的规模为 $a_i$。

小明对该题设计出了一个暴力程序,对于一组规模为 $u$ 的数据,该程序的运行时间为 $u^2$。然而这个程序运行完一组规模为 $u$ 的数据之后,它将在任何一组规模小于$u$的数据上运行错误。样例中的 $a_i$ 不一定递增,但小明又想在不修改程序的情况下正确运行样例,于是小明决定使用一种非常原始的解决方案:将所有数据划分成若干个数据段,段内数据编号连续,接着将同一段内的数据合并成新数据,其规模等于段内原数据的规模之和,小明将让新数据的规模能够递增。

也就是说,小明需要找到一些分界点 $1 ≤ k_1 < k_2 < · · · < k_p < n$,使得

$$sum_{i=1}^{k_1}a_i ≤ sum_{i=k_1+1}^{k_2}a_i ≤ · · · ≤ sum_{i=k_p+1}^{n}a_i$$

注意 $p$ 可以为 $0$ 且此时 $k_0 = 0$,也就是小明可以将所有数据合并在一起运行。

小明希望他的程序在正确运行样例情况下,运行时间也能尽量小,也就是最小化

$$(sum_{i=1}^{k_1}a_i)^2+(sum_{i=k_1+1}^{k_2}a_i)^2 + · · · +(sum_{i=k_p+1}^{n}a_i)^2$$

小明觉得这个问题非常有趣,并向你请教:给定 $n$ 和 $a_i$,请你求出最优划分方案下,小明的程序的最小运行时间。

【输入】

由于本题的数据范围较大,部分测试点的$a_i$ 将在程序内生成。

第一行两个整数 $n$, $type$。$n$ 的意义见题目描述,$type$ 表示输入方式。

1. 若 $type = 0$,则该测试点的 $a_i$ 直接给出。输入接下来:第二行 $n$ 个以空格分隔的整数 $a_i$,表示每组数据的规模。

2. 若 $type = 1$,则该测试点的 $a_i$ 将特殊生成,生成方式见后文。输入接下来:

第二行六个以空格分隔的整数 $x, y,z, b_1, b_2, m$。接下来 $m$ 行中,第 $i(1 ≤ i ≤ m)$行包含三个以空格分隔的正整数 $p_i, l_i,r_i$。

对于 $type = 1$ 的 $23 ∼ 25$ 号测试点,$a_i$ 的生成方式如下:

给定整数 $x, y,z, b_1, b_2, m$,以及 $m$ 个三元组 $(p_i, l_i,r_i)$。

保证 $n ≥ 2$。若 $n > 2$,则 $∀3 ≤ i ≤ n$,$b_i = (x × b_{i−1} + y × b_{i−2} + z) bmod 2^{30}$。

保证 $1 ≤ p_i ≤ n,p_m = n$。令 $p_0 = 0$,则 $p_i$ 还满足 $∀0 ≤ i < m$ 有 $p_i < p_{i+1}$。

对于所有 $1 ≤ j ≤ m$,若下标值 $i(1 ≤ i ≤ n)$满足 $p_{j−1} < i ≤ p_j$,则有

$$ai =(b_i bmod (r_j − l_j + 1))+ l_j$$

上述数据生成方式仅是为了减少输入量大小,标准算法不依赖于该生成方式。

【输出】

输出一行一个整数,表示答案。

【输入样例】

5 0
5 1 7 9 9

【输出样例】

247

【提示】

【样例 1 解释】

最优的划分方案为 {5,1},{7},{9},{9}。由 5 + 1 ≤ 7 ≤ 9 ≤ 9 知该方案合法。

答案为 (5 + 1)2 + 72 + 92 + 92 = 247。

虽然划分方案 {5},{1},{7},{9},{9} 对应的运行时间比 247 小,但它不是一组合法方案,因为 5 > 1。

虽然划分方案 {5},{1,7},{9},{9} 合法,但该方案对应的运行时间为 251,比 247 大。

【样例 2 输入】

10 0
5 6 7 7 4 6 2 13 19 9

【样例 2 输出】

1256

【样例 2 解释】

最优的划分方案为 {5},{6},{7},{7},{4,6,2},{13},{19,9}。

【样例 3 输入】

10000000 1
123 456 789 12345 6789 3
2000000 123456789 987654321
7000000 234567891 876543219
10000000 456789123 567891234

【样例 3 输出】

4972194419293431240859891640

【数据范围】

测试点编号 n ≤ $a_i$ ≤ type =
1 ∼ 3 10 10 0
4 ∼ 6 50 $10^3$
7 ∼ 9 400 $10^4$
10 ∼ 16 5000 $10^5$
17 ∼ 22 $5 × 10^5$ $10^6$
23 ∼ 25 $4 × 10^7$ $10^9$ 1

所有测试点满足:$type ∈ {0, 1} , 2 ≤ n ≤ 4 × 10^7, 1 ≤ a_i ≤ 10^9, 1 ≤ m ≤ 10^5,1 ≤ l_i ≤ r_i ≤ 10^9, 0 ≤ x, y,z, b_1, b_2 < 2^{30}$。

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