信息学奥赛题库- 【18NOIP提高组】填数游戏

C++ 少儿编程 782浏览 0评论

【题目描述】

小 D 特别喜欢玩游戏。这一天,他在玩一款填数游戏。

这个填数游戏的棋盘是一个$n × m$的矩形表格。玩家需要在表格的每个格子中填入一个数字(数字 $0$ 或者数字 $1$),填数时需要满足一些限制。

下面我们来具体描述这些限制。

为了方便描述,我们先给出一些定义:

*我们用每个格子的行列坐标来表示一个格子,即(行坐标,列坐标)。(注意:行列坐标均从 $0$ 开始编号)

*合法路径 P:一条路径是合法的当且仅当:

1.这条路径从矩形表格的左上角的格子$(0,0)$出发,到矩形的右下角格子$(n − 1, m − 1)$结束;

2.在这条路径中,每次只能从当前的格子移动到右边与它相邻的格子,或者从当前格子移动到下面与它相邻的格子。

例如:在下面这个矩形中,只有两条路径是合法的,它们分别是$p_1$:$(0,0) → (0,1) →(1,1)$和$p_2$:$(0,0) → (1,0) → (1,1)$。

对于一条合法的路径 $P$,我们可以用一个字符串$w(P)$来表示,该字符串的长度为$n + m − 2$,其中只包含字符“$R$”或者字符“$D$”,第 $i$ 个字符记录了路径 $P$ 中第 $i$ 步的移动方法,“$R$”表示移动到当前格子右边与它相邻的格子,“$D$”表示移动到当前格子下面与它相邻的格子。例如,上图中对于路径$p_1$,有$w(P_1) = “RD”$;而对于另一条路径$p_2$,有$w(P_2)$ = “DR”。

同时,将每条合法路径 $P$ 经过的每个格子上填入的数字依次连接后,会得到一个长度为$n + m − 1$的 $01$ 字符串,记为 $s(P)$。例如,如果我们在格子$(0,0)$和$(1,0)$上填入数字$0$,在格子$(0,1)$和$(1,1)$上填入数字 $1$(见上图红色数字)。那么对于路径$p_1$,我们可以得到$s(P_1) = “011″$,对于路径$p_2$,有$s(P_2)  = “001″$。

游戏要求小 D 找到一种填数字 $0、1$ 的方法,使得对于两条路径$p_1,P_2$,如果$w(P_1) > w(P_2)$,那么必须$s(P_1) ≤ s(P_2)$。我们说字符串 $a$ 比字符串 $b$ 小,当且仅当字符串 $a$ 的字典序小于字符串$b$ 的字典序,字典序的定义详见第一题。但是仅仅是找一种方法无法满足小 D 的好奇心,小 D 更想知道这个游戏有多少种玩法,也就是说,有多少种填数字的方法满足游戏的要求?

小 D 能力有限,希望你帮助他解决这个问题,即有多少种填 $0、1$ 的方法能满足题目要求。由于答案可能很大,你需要输出答案对$10^9 + 7$取模的结果。

【输入】

输入共一行,包含两个正整数 $n、m$,由一个空格分隔,表示矩形的大小。其中 $n$ 表示矩形表格的行数,$m$ 表示矩形表格的列数。

【输出】

输出共一行,包含一个正整数,表示有多少种填 $0、1$ 的方法能满足游戏的要求。注意:输出答案对 $10^9+7$ 取模的结果。

【输入样例】

2 2

【输出样例】

12

【提示】

【样例解释】

样例输入2】

3 3

【样例输出2】

112

【样例输入3】

5 5

【样例输出3】

7136

【数据规模与约定】

测试点编号 $n≤$ m≤
$1sim 4$ $3$ $3$
$5sim 10$ $2$ $1000000$
$11sim 13$ $3$ $1000000$
$14sim 16$ $8$ $8$
$17sim 20$ $8$ $1000000$

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