信息学奥赛题库- 【19CSPS提高组】括号树

C++ 少儿编程 830浏览 0评论

【题目描述】

本题中合法括号串的定义如下:

1. () 是合法括号串。

2. 如果 A 是合法括号串,则 (A) 是合法括号串。

3. 如果 A,B 是合法括号串,则 AB 是合法括号串。

本题中子串与不同的子串的定义如下:

1. 字符串 S 的子串是 S 中连 续. 的任意个字符组成的字符串。S 的子串可用起始位置 l 与终止位置 r 来表示,记为 S (l,r)(1 ≤ l ≤ r ≤ |S |,|S | 表示 S 的长度)。

2. S 的两个子串视作不同当且仅当它们在 S 中的位置不同,即 l 不同或 r 不同。

一个大小为 n 的树包含 n 个结点和 n − 1 条边,每条边连接两个结点,且任意两个结点间有且仅有一条简单路径互相可达。

小 Q 是一个充满好奇心的小朋友,有一天他在上学的路上碰见了一个大小为 n 的树,树上结点从 1 ∼ n 编号,1 号结点为树的根。除 1 号结点外,每个结点有一个父亲结点,u(2 ≤ u ≤ n)号结点的父亲为 $f_u(1 ≤ f_u < u)$号结点。

小 Q 发现这个树的每个结点上恰有一个括号,可能是’(’ 或’)’。小 Q 定义 $s_i$ 为:将根结点到 i 号结点的简单路径上的括号,按结点经过顺序依次排列组成的字符串。

显然 $s_i$ 是个括号串,但不一定是合法括号串,因此现在小 Q 想对所有的 $i( 1 ≤ i ≤ n)$求出,$s_i$ 中有多少个互不相同的子串是合法括号串。

这个问题难倒了小 Q,他只好向你求助。设 $s_i$ 共有 $k_i$ 个不同子串是合法括号串,你只需要告诉小 Q 所有 $i × k_i$ 的异或和,即:

$(1 × k_1); xor; (2 × k_2); xor; (3 × k_3); xor; · · ·; xor (n × k_n)$

其中 $xor$ 是位异或运算。

【输入】

第一行一个整数 $n$,表示树的大小。

第二行一个长为 $n$ 的由’(’ 与’)’ 组成的括号串,第 $i$ 个括号表示 $i$ 号结点上的括号。

第三行包含 $n−1$ 个整数,第 $i(1 ≤ i < n)$个整数表示 $i+ 1$ 号结点的父亲编号 $f_{i+1}$。

【输出】

仅一行一个整数表示答案。

【输入样例】

5
(()()
1 1 2 2

【输出样例】

6

【提示】

【样例 1 解释】

树的形态如下图:

将根到 1 号结点的简单路径上的括号,按经过顺序排列所组成的字符串为 (,子串是合法括号串的个数为 0。

将根到 2 号结点的简单路径上的括号,按经过顺序排列所组成的字符串为 ((,子串是合法括号串的个数为 0。

将根到 3 号结点的简单路径上的括号,按经过顺序排列所组成的字符串为 (),子串是合法括号串的个数为 1。

将根到 4 号结点的简单路径上的括号,按经过顺序排列所组成的字符串为 (((,子串是合法括号串的个数为 0。

将根到 5 号结点的简单路径上的括号,按经过顺序排列所组成的字符串为 ((),子串是合法括号串的个数为 1。

【数据范围】

测试点编号 n ≤ 特殊性质
1∼2 8 $f_i=i-1$
3∼4 200
5∼7 2000
8∼10
11∼14 $10^5$ $f_i=i-1$
15∼16
17∼20 $5×10^5$

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