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【题目描述】
Emiya 是个擅长做菜的高中生,他共掌握 $n$ 种烹饪方法,且会使用 $m$ 种主要食材做菜。为了方便叙述,我们对烹饪方法从 $1 ∼ n$ 编号,对主要食材从 $1 ∼ m$ 编号。
Emiya 做的每道菜都将使用恰好一种烹饪方法与恰好一种主要食材。更具体地,Emiya 会做 $a_i$, $j$ 道不同的使用烹饪方法 $i$ 和主要食材 $j$ 的菜$(1 ≤ i ≤ n,1 ≤ j ≤ m)$,这也意味着 Emiya 总共会做$sum_{i=1}^nsum_{j=1}^ma_{i,j}$ 道不同的菜。
Emiya 今天要准备一桌饭招待 Yazid 和 Rin 这对好朋友,然而三个人对菜的搭配有不同的要求,更具体地,对于一种包含 $k$ 道菜的搭配方案而言:
• Emiya 不会让大家饿肚子,所以将做至少一道菜,即 $k ≥ 1$
• Rin 希望品尝不同烹饪方法做出的菜,因此她要求每道菜的烹饪方法互不相同
• Yazid 不希望品尝太多同一食材做出的菜,因此他要求每种主要食材至多在一半的菜(即 $lfloor frac{k}{2} rfloor$道菜)中被使用
– 这里的 $lfloor x rfloor$ 为下取整函数,表示不超过 $x$ 的最大整数
这些要求难不倒 Emiya,但他想知道共有多少种不同的符合要求的搭配方案。两种方案不同,当且仅当存在至少一道菜在一种方案中出现,而不在另一种方案中出现。
Emiya 找到了你,请你帮他计算,你只需要告诉他符合所有要求的搭配方案数对质数 $998, 244, 353$ 取模的结果。
【输入】
第 1 行两个用单个空格隔开的整数 $n$, $m$。
第 2 行至第 n + 1 行,每行 $m$ 个用单个空格隔开的整数,其中第 $i + 1$ 行的 $m$ 个数依次为 $a_{i,1}, a_{i,2}, . . . , a_{i,m}$。
【输出】
仅一行一个整数,表示所求方案数对 $998, 244, 353$ 取模的结果。
【输入样例】
3 3 1 2 3 4 5 0 6 0 0
【输出样例】
190
【提示】
【样例 1 解释】
由于在这个样例中,对于每组 i, j,Emiya 都最多只会做一道菜,因此我们直接通过给出烹饪方法、主要食材的编号来描述一道菜。
符合要求的方案包括:
• 做一道用烹饪方法 1、主要食材 1 的菜和一道用烹饪方法 2、主要食材 2 的菜
• 做一道用烹饪方法 1、主要食材 1 的菜和一道用烹饪方法 2、主要食材 3 的菜
• 做一道用烹饪方法 1、主要食材 3 的菜和一道用烹饪方法 2、主要食材 2 的菜
因此输出结果为 3 mod 998, 244, 353 = 3。
需要注意的是,所有只包含一道菜的方案都是不符合要求的,因为唯一的主要食材在超过一半的菜中出现,这不满足 Yazid 的要求。
【样例 2 输入】
3 3 1 2 3 4 5 0 6 0 0
【样例 2 输出】
190
【样例 2 解释】
Emiya 必须至少做 2 道菜。
做 2 道菜的符合要求的方案数为 100。
做 3 道菜的符合要求的方案数为 90。
因此符合要求的方案数为 100 + 90 = 190。
【样例 3 输入】
5 5 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1
【样例 3 输出】
742
【数据范围】
测试点编号 | n = | m = | $a_{i, j} < $ |
1 | 2 | 2 | 2 |
2 | 3 | ||
3 | 5 | 2 | |
4 | 3 | ||
5 | 10 | 2 | |
6 | 3 | ||
7 | 10 | 2 | 1000 |
8 | 3 | ||
9∼12 | 40 | 2 | |
13∼16 | 3 | ||
17∼21 | 500 | ||
22∼25 | 100 | 2000 | 998, 244, 353 |
对于所有测试点,保证 $1 ≤ n ≤ 100,1 ≤ m ≤ 2000,0 ≤ a_{i, j} < 998, 244, 353$。