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信息学奥赛题库- 【19CSPS提高组】Emiya家今天的饭

C++ 少儿编程 55浏览 0评论

【题目描述】

Emiya 是个擅长做菜的高中生,他共掌握 $n$ 种烹饪方法,且会使用 $m$ 种主要食材做菜。为了方便叙述,我们对烹饪方法从 $1 ∼ n$ 编号,对主要食材从 $1 ∼ m$ 编号。

Emiya 做的每道菜都将使用恰好一种烹饪方法与恰好一种主要食材。更具体地,Emiya 会做 $a_i$, $j$ 道不同的使用烹饪方法 $i$ 和主要食材 $j$ 的菜$(1 ≤ i ≤ n,1 ≤ j ≤ m)$,这也意味着 Emiya 总共会做$sum_{i=1}^nsum_{j=1}^ma_{i,j}$ 道不同的菜。

Emiya 今天要准备一桌饭招待 Yazid 和 Rin 这对好朋友,然而三个人对菜的搭配有不同的要求,更具体地,对于一种包含 $k$ 道菜的搭配方案而言:

• Emiya 不会让大家饿肚子,所以将做至少一道菜,即 $k ≥ 1$

• Rin 希望品尝不同烹饪方法做出的菜,因此她要求每道菜的烹饪方法互不相同

• Yazid 不希望品尝太多同一食材做出的菜,因此他要求每种主要食材至多在一半的菜(即 $lfloor frac{k}{2} rfloor$道菜)中被使用

– 这里的  $lfloor x rfloor$ 为下取整函数,表示不超过 $x$ 的最大整数

这些要求难不倒 Emiya,但他想知道共有多少种不同的符合要求的搭配方案。两种方案不同,当且仅当存在至少一道菜在一种方案中出现,而不在另一种方案中出现。

Emiya 找到了你,请你帮他计算,你只需要告诉他符合所有要求的搭配方案数对质数 $998, 244, 353$ 取模的结果。

【输入】

第 1 行两个用单个空格隔开的整数 $n$, $m$。

第 2 行至第 n + 1 行,每行 $m$ 个用单个空格隔开的整数,其中第 $i + 1$ 行的 $m$ 个数依次为 $a_{i,1}, a_{i,2}, . . . , a_{i,m}$。

【输出】

仅一行一个整数,表示所求方案数对 $998, 244, 353$ 取模的结果。

【输入样例】

3 3
1 2 3
4 5 0
6 0 0

【输出样例】

190

【提示】

【样例 1 解释】

由于在这个样例中,对于每组 i, j,Emiya 都最多只会做一道菜,因此我们直接通过给出烹饪方法、主要食材的编号来描述一道菜。

符合要求的方案包括:

• 做一道用烹饪方法 1、主要食材 1 的菜和一道用烹饪方法 2、主要食材 2 的菜

• 做一道用烹饪方法 1、主要食材 1 的菜和一道用烹饪方法 2、主要食材 3 的菜

• 做一道用烹饪方法 1、主要食材 3 的菜和一道用烹饪方法 2、主要食材 2 的菜

因此输出结果为 3 mod 998, 244, 353 = 3。

需要注意的是,所有只包含一道菜的方案都是不符合要求的,因为唯一的主要食材在超过一半的菜中出现,这不满足 Yazid 的要求。

【样例 2 输入】

3 3
1 2 3
4 5 0
6 0 0

【样例 2 输出】

190

【样例 2 解释】

Emiya 必须至少做 2 道菜。

做 2 道菜的符合要求的方案数为 100。

做 3 道菜的符合要求的方案数为 90。

因此符合要求的方案数为 100 + 90 = 190。

【样例 3 输入】

5 5
1 0 0 1 1
0 1 0 1 0
1 1 1 1 0
1 0 1 0 1
0 1 1 0 1

【样例 3 输出】

742

【数据范围】

测试点编号 n = m = $a_{i, j} < $
1 2 2 2
2 3
3 5 2
4 3
5 10 2
6 3
7 10 2 1000
8 3
9∼12 40 2
13∼16 3
17∼21 500
22∼25 100 2000 998, 244, 353

对于所有测试点,保证 $1 ≤ n ≤ 100,1 ≤ m ≤ 2000,0 ≤ a_{i, j} < 998, 244, 353$。

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