信息学奥赛题库- 【19CSPS提高组】树的重心

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【题目描述】

小简单正在学习离散数学，今天的内容是图论基础，在课上他做了如下两条笔记：

1. 一个大小为 $n$ 的树由 $n$ 个结点与 $n − 1$ 条无向边构成，且满足任意两个结点间有且仅有一条简单路径。在树中删去一个结点及与它关联的边，树将分裂为若干个子树；而在树中删去一条边（保留关联结点，下同），树将分裂为恰好两个子树。

2. 对于一个大小为 $n$ 的树与任意一个树中结点 $c$，称 $c$ 是该树的重心当且仅当在树中删去 $c$ 及与它关联的边后，分裂出的所有子树的大小均不超过$lfloor frac{n}{2} rfloor$其中 $lfloor x rfloor$是下取整函数）。对于包含至少一个结点的树，它的重心只可能有 $1$ 或 $2$ 个。

课后老师给出了一个大小为 $n$ 的树 $S$，树中结点从 $1 ∼ n$ 编号。小简单的课后作业是求出 $S$ 单独删去每条边后，分裂出的两个子树的重心编号和之和。即：

$$sum_{(u,v)∈E}(sum_{1≤x≤n,且x号点是S_u^′的重心};x+sum_{1≤y≤n,且y号点是S_v^′的重心};y)$$

上式中，$E$ 表示树 $S$ 的边集，$(u, v)$ 表示一条连接 $u$ 号点和 $v$ 号点的边。$S_u^′$与 $S_v^′$分别表示树 $S$ 删去边 $(u, v)$ 后，$u$ 号点与 $v$ 号点所在的被分裂出的子树。

小简单觉得作业并不简单，只好向你求助，请你教教他。

【输入】

本题输入包含多组测试数据。

第一行一个整数 $T$ 表示数据组数。

接下来依次给出每组输入数据，对于每组数据：

第一行一个整数 $n$ 表示树 $S$ 的大小。

接下来 $n − 1$ 行，每行两个以空格分隔的整数 $u_i, v_i$，表示树中的一条边 $(u_i, v_i)$。

【输出】

共 $T$ 行，每行一个整数，第 $i$ 行的整数表示：第 $i$ 组数据给出的树单独删去每条边后，分裂出的两个子树的重心编号和之和。

【输入样例】

2
5
1 2
2 3
2 4
3 5
7
1 2
1 3
1 4
3 5
3 6
6 7

【输出样例】

32
56

【提示】

【样例 1 解释】

对于第一组数据：

删去边 (1, 2)，1 号点所在子树重心编号为 {1}，2 号点所在子树重心编号为 {2, 3}。

删去边 (2, 3)，2 号点所在子树重心编号为 {2}，3 号点所在子树重心编号为 {3, 5}。

删去边 (2, 4)，2 号点所在子树重心编号为 {2, 3}，4 号点所在子树重心编号为 {4}。

删去边 (3, 5)，3 号点所在子树重心编号为 {2}，5 号点所在子树重心编号为 {5}。

因此答案为 1 + 2 + 3 + 2 + 3 + 5 + 2 + 3 + 4 + 2 + 5 = 32。

【数据范围】

表中特殊性质一栏，两个变量的含义为存在一个 $1 ∼ n$ 的排列 $p_i（1 ≤ i ≤ n）$，使得：

A：树的形态是一条链。即 $∀1 ≤ i < n$，存在一条边 $(p_i, p_{i+1})$。

B：树的形态是一个完美二叉树。即 $∀1 ≤ i ≤frac{n−1}{2}$ ，存在两条边 $(p_i, p_{2i})$ 与 $(p_i, p_{2i+1})$。

对于所有测试点：$1 ≤ T ≤ 5 , 1 ≤ u_i, v_i ≤ n$。保证给出的图是一个树。