信息学奥赛题库- 【19CSPS提高组】格雷码

C++ 少儿编程 920浏览 0评论

【题目描述】

通常,人们习惯将所有 n 位二进制串按照字典序排列,例如所有 2 位二进制串按字典序从小到大排列为:00,01,10,11。

格雷码(Gray Code)是一种特殊的 n 位二进制串排列法,它要求相邻的两个二进制串间恰. 好. 有一位不. 同. ,特别地,第一个串与最后一个串也算作相邻。

所有 2 位二进制串按格雷码排列的一个例子为:00,01,11,10。

n 位格雷码不止一种,下面给出其中一种格雷码的生成算法:

1. 1 位格雷码由两个 1 位二进制串组成,顺序为:0,1。

2. n + 1 位格雷码的前 $2^n$ 个二进制串,可以由依此算法生成的 n 位格雷码(总共$2^n$ 个 n 位二进制串)按顺. 序. 排列,再在每个串前加一个前缀 0 构成。

3. n + 1 位格雷码的后 $2^n$ 个二进制串,可以由依此算法生成的 n 位格雷码(总共$2^n$ 个 n 位二进制串)按逆. 序. 排列,再在每个串前加一个前缀 1 构成。

综上,n + 1 位格雷码,由 n 位格雷码的 $2^n$ 个二进制串按顺序排列再加前缀 0,和按逆序排列再加前缀 1 构成,共 $2^{n+1}$ 个二进制串。另外,对于 n 位格雷码中的 $2^n$ 个二进制串,我们按上述算法得到的排列顺序将它们从 0 ∼ $2^n$ − 1 编号。

按该算法,2 位格雷码可以这样推出:

1. 已知 1 位格雷码为 0,1。

2. 前两个格雷码为 00,01。后两个格雷码为 11,10。合并得到 00,01,11,10,编号依次为 0 ∼ 3。

同理,3 位格雷码可以这样推出:

1. 已知 2 位格雷码为:00,01,11,10。

2. 前四个格雷码为:000,001,011,010。后四个格雷码为:110,111,101,100。合并得到:000,001,011,010,110,111,101,100,编号依次为 0 ∼ 7。

现在给出 n, k,请你求出按上述算法生成的 n 位格雷码中的 k 号二进制串。

【输入】

仅一行两个整数 n, k,意义见题目描述。

【输出】

仅一行一个 n 位二进制串表示答案。

【输入样例】

2 3

【输出样例】

10

【提示】

【样例 1 解释】

2 位格雷码为:00,01,11,10,编号从 0 ∼ 3,因此 3 号串是 10。

【样例 2 输入】

3 5

【样例 2 输出】

111

【样例 2 解释】

3 位格雷码为:000,001,011,010,110,111,101,100,编号从 0 ∼ 7,因此 5号串是 111。

【数据范围】

对于 50% 的数据:$n ≤ 10$;

对于 80% 的数据:$k ≤ 5 × 10^6$;

对于 95% 的数据:$k ≤ 2^{63} − 1$;

对于 100% 的数据:$1 ≤ n ≤ 64 , 0 ≤ k < 2^n$。

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